ЗАДАЧА ОБ ЭКОЛОГИЧЕСКОМ РАВНОВЕСИИ СИСТЕМЫ «ЖЕРТВА- ХИЩНИК- ОХОТНИК»

Башуров В.В. , Ртищев Д.Е.

ТПИ МИФИ, г. Трёхгорный


В докладе обсуждается поведение простой экологической системы, состоящей из: животных–жертв (например, зайцев), охотников на них, животных: хищников (например, лис) и охотников на хищников. За основу была взята классическая система Вольтерра [1].

Изменим систему следующим образом: добавим два уравнения, отражающих влияние человека (например, охоты) на систему, а также добавим в основные уравнения системы связующие члены: в уравнение для жертв — слагаемое, отвечающее за их истребление охотниками, и аналогичное слагаемое в уравнение для хищников. Сами уравнения для охотников очень похожи и состоят из двух слагаемых: одно отвечает за приезд охотников на рассматриваемый ареал, а второе — за их отъезд с рассматриваемого ареала. Максимальное число охотников каждого вида не может быть больше, чем некоторое заданное число. Влиянием ионизирующих излучений на охотников пренебрежем, поскольку вероятность такого воздействия мала.

В основные уравнения системы (для жертв и для хищников) добавим следующие члены: слагаемое, отражающее естественную смертность жертв вследствие нехватки корма для них, и миграционный член для хищников. Изменим также члены, отвечающие за размножение жертв и хищников так, чтобы при наличии некоторого источника излучений коэффициенты уменьшались по экспоненциальному закону.

Поскольку все слагаемые в уравнениях для охотников зависят от некоторого наперед заданного числа, отражающего максимально возможное число охотников, которые одновременно могут находиться на территории ареала, то решение должно быть инерционным. И действительно, в процессе решения получено, что изменение численности охотников отстает на некоторую величину от изменения численности животных (жертв и хищников соответственно). Однако и изменение численности хищников начинает отставать от изменения численности жертв.

Все процессы в системе имеют характер квазигармонических колебаний (их амплитуда со временем убывает). Точка равновесия при заданных параметрах — устойчивый фокус.

Исследование системы на устойчивость показало, что при изменении одного коэффициента система также приходит в состояние равновесия, однако, в зависимости от того, какой коэффициент изменяется, точка равновесия становится либо устойчивым узлом, либо неустойчивым фокусом.

Подход к данной проблеме принципиально новый. Данная система не претендует на законченность по ряду причин.

Литература

  1. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. «Что такое математическая биофизика», М. Просвещение.

  2. Эльсгольц Л.Э. «Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление», М. Наука.